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二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c（a，b ，c为常数 ，a≠0，且a决定函数的开口方向 ，a>0时 ，开口方向向上，a<0时 ，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数 。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式 。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c（a ，b，c为常数 ，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h ，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2 ，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中 ，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x?0?5的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a 。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。 特别地 ，当b=0时 ，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。 当-b/2a=0时 ，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上 。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小 。 当a＞0时 ，抛物线向上开口；当a＜0时 ，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小 。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 。 当a与b同号时（即ab＞0） ，对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0） ，对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点 。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时 ，抛物线与x轴有2个交点 。 Δ= b^2-4ac=0时 ，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 。 V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c ， 当y=0时 ，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此时 ，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根 。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 答案补充 画抛物线y＝ax2时 ，应先列表，再描点 ，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心 ，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接 ，并注意变化趋势 。 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数 ，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2) ，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标 ，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k) ，h＝0时 ，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时 ，抛物线y＝ax2的顶点在原点 答案补充 如果图像经过原点 ，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴 ，但不过原点 ，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c为常数，a≠0 ，且a决定函数的开口方向 ，a>0时，开口方向向上，a<0时 ，开口方向向下 。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） 则称y为x的二次函数 。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式 。 x是自变量 ，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c ，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) ，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
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